以實(shí)數(shù)作為自變量的函數(shù)叫做實(shí)變函數(shù)，以實(shí)變函數(shù)作為研究對(duì)象的數(shù)學(xué)分支就叫做實(shí)變函數(shù)論。它是微積分學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展，它的基礎(chǔ)是點(diǎn)集論。什么是點(diǎn)集論呢？點(diǎn)集論是專(zhuān)門(mén)研究點(diǎn)所成的集合的性質(zhì)的理論。也可以說(shuō)實(shí)變函數(shù)論是在點(diǎn)集論的基礎(chǔ)上研究分析數(shù)學(xué)中的一些最基本的概念和性質(zhì)的。比如，點(diǎn)集函數(shù)、序列、極限、連續(xù)性、可微性、積分等。實(shí)變函數(shù)論還要研究實(shí)變函數(shù)的分類(lèi)問(wèn)題、結(jié)構(gòu)問(wèn)題。
實(shí)變函數(shù)論的內(nèi)容包括實(shí)值函數(shù)的連續(xù)性質(zhì)、微分理論、積分理論和測(cè)度論等。這里我們只對(duì)它的一些重要的基本概念作簡(jiǎn)要的介紹。
實(shí)變函數(shù)論的積分理論研究各種積分的推廣方法和它們的運(yùn)算規(guī)則。由于積分歸根到底是數(shù)的運(yùn)算，所以在進(jìn)行積分的時(shí)候，必須給各種點(diǎn)集一個(gè)數(shù)量上的概念，這個(gè)概念叫做測(cè)度。
