以實數(shù)作為自變量的函數(shù)叫做實變函數(shù)，以實變函數(shù)作為研究對象的數(shù)學(xué)分支就叫做實變函數(shù)論。它是微積分學(xué)的進一步發(fā)展，它的基礎(chǔ)是點集論。什么是點集論呢？點集論是專門研究點所成的集合的性質(zhì)的理論。也可以說實變函數(shù)論是在點集論的基礎(chǔ)上研究分析數(shù)學(xué)中的一些最基本的概念和性質(zhì)的。比如，點集函數(shù)、序列、極限、連續(xù)性、可微性、積分等。實變函數(shù)論還要研究實變函數(shù)的分類問題、結(jié)構(gòu)問題。
實變函數(shù)論的內(nèi)容包括實值函數(shù)的連續(xù)性質(zhì)、微分理論、積分理論和測度論等。這里我們只對它的一些重要的基本概念作簡要的介紹。
實變函數(shù)論的積分理論研究各種積分的推廣方法和它們的運算規(guī)則。由于積分歸根到底是數(shù)的運算，所以在進行積分的時候，必須給各種點集一個數(shù)量上的概念，這個概念叫做測度。
